【未知数不要】3点を通る二次関数の最速公式

結論

（ラグランジュ補間）3点$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$を通る二次関数の式は、

具体例

例題

解法

ラグランジュ補間を用いると

原理と導出

まずは一次関数で

まずは話を簡単にするために、2点を通る一次関数について復習しましょう。

2点$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$を通る一次関数は、次の公式で求められます。

これは次のように変形できますね。

このように変形した理由は右辺の各項を見れば分かります。

右辺の第1項は$x=x_1$のとき$y_1$、$x=x_2$のとき$0$となる一次関数を表しています。

同様に、第2項は$x=x_1$のとき$0$、$x=x_2$のとき$y_2$となる一次関数です。

つまり、これらを足し合わせると$x=x_1$のとき$y=y_1$、$x=x_2$のとき$y=y_2$となる一次関数が得られるというわけです。

表で表すとこうなりますね。

二次関数も同様に

あとはこれを二次関数で行えばいいだけです。項がひとつ増えて、次の表のイメージです。

ではこれを満たすような第1項はどのような二次関数かを考えます。

まず$x_2$や$x_3$を入れると$0$になるので、因数として$(x-x_2)(x-x_3)$を持っているはずです。つまり、定数$k$を用いて

という形です。あとは$x=x_1$のときに$y_1$となることを使えば、

となるので、第1項は

と表されることが分かりました！

この$(3)$式、$x=x_1$を代入するとちょうど分数が約分されて係数の$y_1$だけが残るようになってますね（導出方法から、当たり前ですが）。最初からこれを狙っていたわけです。

これを第2項、第3項も考えて合計すると、最初の式が得られます。

少し長い式ですが、このように意味から考えると覚えるまでもありませんね！

答案で書くなら

答案で使うときは、「ラグランジュの補間多項式より」とするか、裏でこの公式を使って答えを求めておき、「この式は題意を満たす。よって求める答えはこの式」とだけ書いておきましょう。

答えが合っている確認ができれば、それがどこから出てきたのかを言う必要はないのです。

拡張

同様の議論をすれば、$n$個の点$(x_i, y_i)|_{i=1, 2, \ldots ,n}$を通る$n-1$次関数を具体的に書き表すことができますね。

これを「ラグランジュの補完多項式」といいます。

参考