ロピタルの定理
ロピタルの定理とは、次のような定理です。
- 不定形の極限は、分母分子を微分しても極限は変わらない。
式でいえば、このようになります。
\[\lim_{x \to \alpha}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to \alpha}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]
非常にシンプルですね。まずは、簡単な例で説明します。
例
例1
極限\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\]を求めよ。
極限の基本公式。ロピタルの定理がこれに当てはまることを確認する
解1
$(\sin x)'=\cos x, (x)'=1$なのでロピタルの定理を適用すると
\[\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{1}=\cos 0 =1\]
例2
次は指数関数に適用させる例を紹介します。
極限\[\lim_{x \to +0} x^x\]を求めよ。
いわゆる、「$0^0$」を求めさせる問題。
$0$乗は1ですが、$0$は何乗しても$0$です。では、$0^0$はどうなるのでしょうか？
解2
ロピタルの定理より
\[\begin{align*}\lim_{x \to +0}x^x &= \exp \lim_{x \to +0}x \log x \\ &=\exp \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\dfrac{1}{x}} \\ &= \exp\lim_{x \to +0}\frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}} \\ &= \exp \lim_{x \to +0} -x\\ &= e^0=1\end{align*}\]
一見分数には見えない形でも、無理やり分数の形にしてしまえばロピタルの定理の射程圏内ですね！
例3
ロピタルの定理は、不定形が解消されるまで何回でも使うことができます。次の例で確認してみましょう。
極限\[\lim_{x \to 0}\frac{3\tan x - 3x - x^3}{x^5}\]を求めよ。
グラフを描いても、設定が微妙でどうなるか分かりません。
解3
ロピタルの定理を5回適用して
\[\begin{align*}&\lim_{x \to 0}\frac{3\tan x - 3x - x^3}{x^5}\\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\dfrac{3}{\cos^2 x}-3-3x^2}{5x^4} \\ &= \lim_{x \to 0}\frac{3\tan^2 x -3x^2}{5x^4} \\ &= \lim_{x \to 0}\frac{6\tan x\cdot\dfrac{1}{\cos^2 x}-6x}{20x^3} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{6\tan x + 6\tan^3 x - 6x}{20x^3} \\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\dfrac{1}{\cos^2 x} + 3\tan^2x\cdot\dfrac{1}{\cos^2 x} - 1}{10x^2} \\ &= \lim_{x \to 0}\frac{4\tan^2x + 3\tan^4x}{10x^2} \\ &= \lim_{x \to 0}\frac{2\tan x\cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}+3\tan^3x\cdot\dfrac{1}{\cos^2 x}}{5x} \\ &= \lim_{x \to 0}\frac{2\tan x+ 5\tan^3 x + 3 \tan^5 x}{5x} \\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\dfrac{2}{\cos^2 x}+\tan^2x(\cdots)}{5} \\ &=\frac{2}{5}\end{align*}\]
少し計算が長くなってしまいました。しかし、ロピタルの定理を使ってこれなので、ふつうに解いていてはおそらく解けないでしょう。
使用上の注意
最強ともいえるロピタルの定理ですが、実は高校数学で証明できる内容ではないようですので、解答で使うのはやめておいたほうがいいでしょう。
筆者はロピタルの定理であらかじめ極限を求めておき、その値になるように解答を正攻法で作成するようにしていました。
また、そもそもロピタルの定理には使用条件があります。
ロピタルの定理が使える条件
ロピタルの定理が使えるためには、以下の条件をすべて満たす必要があります。
- $f(x), g(x)$が定義されていて、極限が両方$0$または$\infty$
- 極限$\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$が存在する
- $g'(x)$は$a$の十分近くで$g(x)=0$とならない
ただし、これらの注意は、大抵の関数では大丈夫ですので、あまり気にする必要はないかと思います。
より速さを求める人に
ロピタルの定理よりも速い方法はないのかという人は、こちらの記事も見てみてください。実は、今回の例題（特に例3）はロピタルの定理を使うまでもなく解けてしまいます。